Avant de calculer quoi que ce soit, il faut décider quels modèles entrent dans la compétition. Cette étape est plus conséquente qu'elle n'y paraît : un ensemble trop restreint produit une fausse impression d'exhaustivité, tandis qu'un ensemble trop large dilue le signal. En pratique, on commence par des modèles structurellement distincts — différentes hypothèses sur la volatilité, la persistance des rendements, la distribution des erreurs. Chaque modèle candidat doit être justifiable a priori, pas simplement testé par curiosité. Si vous ne pouvez pas défendre un modèle avant de voir les données, sa présence dans l'ensemble affaiblit l'analyse plutôt qu'elle ne l'enrichit. Construire cet ensemble avec rigueur est le premier acte de rigueur analytique de toute combinaison bayésienne sérieuse.

La vraisemblance marginale — parfois appelée évidence du modèle — est l'intégrale de la vraisemblance des données sur l'ensemble des valeurs possibles des paramètres, pondérée par le prior. C'est ce calcul qui distingue l'approche bayésienne d'une simple comparaison de critères d'information. Il intègre explicitement l'incertitude paramétrique, et pénalise naturellement les modèles trop complexes qui s'ajustent aux données par flexibilité plutôt que par structure pertinente. En pratique, cette intégrale est souvent approchée par des méthodes numériques — estimateurs de pont, méthode de Chib, ou approximations harmoniques de la moyenne. Chacune a ses biais propres, qu'il vaut la peine de connaître avant de leur faire confiance aveuglément.

Une fois les vraisemblances marginales calculées, les poids postérieurs s'obtiennent en les combinant avec les priors sur les modèles via le théorème de Bayes. Si tous les modèles étaient jugés également plausibles a priori, les poids postérieurs reflètent uniquement la force relative des données en faveur de chaque structure. Mais si vous aviez des raisons de préférer certains modèles avant d'observer les données — par exemple, parce qu'un modèle à volatilité stochastique est mieux fondé théoriquement qu'un modèle à variance constante — ces croyances initiales doivent être encodées explicitement dans les priors sur les modèles. La transparence sur ces choix est essentielle : les poids postérieurs ne sont pas objectifs, ils reflètent à la fois les données et vos hypothèses préalables.

La distribution prédictive finale est une moyenne des distributions prédictives individuelles, pondérée par les poids postérieurs des modèles. Ce n'est pas un simple vote majoritaire : un modèle avec un poids de 0,7 contribue bien plus à la forme de la distribution finale qu'un modèle avec un poids de 0,05. En pratique, cette agrégation produit souvent des distributions multimodales ou à queues plus épaisses que n'importe lequel des modèles individuels — précisément parce qu'elle reflète le désaccord structurel entre modèles sur les régions de faible probabilité. C'est là que l'honnêteté analytique se manifeste le plus clairement : dans les queues de la distribution agrégée, là où les modèles divergent le plus.

Les poids postérieurs sont eux-mêmes informatifs, indépendamment de la distribution prédictive qu'ils produisent. Un poids très concentré sur un seul modèle signifie que les données distinguent clairement les structures candidates — ou que l'ensemble des modèles était trop homogène pour révéler un vrai désaccord. Une distribution des poids plus étalée signifie que plusieurs structures sont compatibles avec les données, et que l'incertitude de modèle est substantielle. Dans ce cas, la distribution prédictive agrégée sera notablement plus large que celle du meilleur modèle seul. Interpréter ce résultat non pas comme un signe de faiblesse analytique mais comme une mesure honnête de ce que les données peuvent et ne peuvent pas trancher est le signe d'une analyse mature.

Toute combinaison bayésienne de modèles doit être soumise à une vérification de calibration sur des données que le modèle n'a pas vues. La question n'est pas seulement de savoir si la distribution prédictive agrégée est plus large — elle l'est presque toujours — mais de savoir si elle est bien calibrée : est-ce que 90 % des réalisations futures tombent effectivement dans l'intervalle de crédibilité à 90 % ? Une distribution trop large est honnête mais peu informative. Une distribution trop étroite est informative mais trompeuse. La calibration hors-échantillon est le seul test qui distingue ces deux cas de façon empirique, sans supposer que le monde continuera à ressembler à l'échantillon d'estimation. Les performances passées ne constituent pas un indicateur fiable des résultats futurs.